Makalah Matematika Diskrit

BAB I
PENDAHULUAN

I.1. LATAR BELAKANG
Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu. Dengan buku paket dan LKS yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar/siswa merasa bosan untuk belajar matematika. Seringkali mereka bertanya, "Apa sih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari? Apa manfaat Aljabar? Apa manfaat himpunan? Apa manfaat trigonometri?".

Pertanyaan-pertanyaan seperti itu sudah sering mereka lontarkan kepada guru-guru pembimbing mereka. Pertanyaan itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang tersulit sekalipun.


Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa Ilmu Komunikasi Universitas Budidarma, kumpulan koran bekas, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata himpunan, kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama.
Pengertian himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada pengertian himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif,. Tetapi dalam matematika dapat dibuat definisinya. Kata himpunan dan kumpulan digunakan dalam definisi secara bersamaan, meskipun keduanya mempunyai arti yang sama. Demikian pula dengan kata himpunan dan koleksi.

I.2. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang tersebut rumusan masalah yang dapat diangkat antara lain sebagai berikut:
I.2.1.  Bagaimana definisi himpunan?
I.2.2.  Bagaimana manfaat belajar himpunan dalam kehidupan sehari-hari?
I.2.3.  Bagaimana contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari    ?

I.3. TUJUAN
Tujuan dari penuliasan makalah ini adalah, sebagai berikut:
I.3.1.  Untuk mengetahui definisi himpunan.
I.3.2.  Untuk mengetahui manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
I.3.3.  Untuk mengetahui contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari.



BAB II
PEMBAHASAN

11.A Sejarah Ringkas Teori Himpunan
George Cantor (1845-1918) dianggap sebagai Bapak teori himpunan, karena beliaulah yang pertama kali mengembangkan cabang matematika ini. Ide-idenya tentang teori himpunan dapat memuaskan keinginan publik terutama idenya tentang himpunan tak berhingga (infinit) (himpunan yang banyak anggotanya tak berhingga).
Beliau mengembangkan hirarki himpunan infinit ini yang ternyata dapat digunakan di berbagai himpunan infinit yang berbeda. Penemuan ini di anggap penemuan yang revolusioner oleh para matematikawan pada jaman itu. Cantor meninggal di suatu institusi mental di jerman pada usia 73 tahun. Banyak yang mengganggap bahwa mentalnya jatuh karena serangan-serangan terhadap ide-ide dan hasil karyanya yang dilakukan oleh para matematikawan lain.
Pada tahun-tahun terakhir ini, teori himpunan mendapatkan perhatian khusus dalam mengajarkan matematika, karena setiap cabang matematika berkaitan erat dan termasuk  di dalam (menjadi bagian) teori himpunan. Cabang matematika yang berbeda-beda berkembang menjadi satu kesatuan dalam teori himpunan.

Himpunan
Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan, atau pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya. Perlu adanya pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan itu dapat berupa daftar, koleksi atau kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit atau benda abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek-obyek ini di sebut anggota, unsur atau elemen dari himpunan tersebut.

Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefinisikan dengan jelas , sehingga kita dapat membedakan obyek yang menjadi anggota himpunan dan yang bukan menjadi anggota himpunan.
Contoh :
1.     Himpunan bilangan 1, 2, dan 3.
2.     Himpunan vokal a, i, e, o, u.
3.     Himpunan semua huruf dari abjad, yaitu a, i, u, e, o
4.     Himpunan negara-negara asia tenggara.
5.     Himpunan penyelesaian persamaan x2  –  2 x – 3 =0
6.     Himpunan manusia yang hidup di bumi.

Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, ….., K, L, M, ......., X, Y, Z. dan sebagainya. Sedangkan anggota-anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, x, y, ... dan sebagainya.

Jika x anggota dari himpunan A, maka dinyatakan x Î A. dan
Jika x bukan anggota dari himpunan A, maka ditulis x Ï A.

Jika x adalah anggota himpunan A, berarti A mempunyai x sebagai salah satu anggotanya maka dapat di tulis x Î A (di baca x anggota A atau x elemen A). Sebaliknya jika x bukan anggota himpunan A, berarti A tidak mempunyai x sebagai (salah satu) anggotanya maka ditulis : x Ï  A (di baca bukan anggota A, atau bukan elemen A).
Contoh:  1. P  ={a, i, e, o, u}.  Maka;  a Î P,  b Ï  P,  e Π P.
   2. Q ={1, 3, 5, 7, 9}. Maka; 3 Î Q,  6 Ï Q, 8 Ï  Q.

Cara Penulisan Himpunan
Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh di atas dirasakan sangat bertele-tele, tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan cara menuliskan secara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan, Ada tiga cara dalam mendefinisikan suatu himpunan antara lain:
1.    Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal.
Contoh:
a.     P = {1, 2, 4, 6, 8} artinya;
P  merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 2, 4, 6, dan 8. 

b.     Q = {1, 3, 5, 7, 9} artinya;
Q merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 3, 5, 7, dan 9.

2.    Dengan cara menyebutkan sifat-sifat yang dimiliki setiap anggota-anggotanya.
Contoh:
a.    P = himpunan vokal dalam abjad latin.
b.    Q = himpunan bilangan cacah ganjil yang kurang dari 10.

3.    Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.
Contoh:
1.       P  ={x / x adalah vokal dalam abjad latin}.
2.       Q ={x / x adalah bilangan cacah ganjil}.
3.       R ={x / x adalah bilangan riil}

11.B Macam-macam Himpunan
Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi beberapa macam :

1. Himpunan Kosong (himpunan hampa)
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong biasanya dinyatakan dengan notasi Æ atau  {}.
Contoh:
1.     A adalah himpunan manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad.sepanjang pengetahuan kita,tidak ada manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad. oleh karena itu, A = Æ.
2.    B ={x / x = bilangan riil, x2 + 3 = 0} maka ditulis B = Æ

2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dinyatakan dengan notasi S atau U  (S singkatan dari semesta dan U singkatan dari universal).
Contoh.
1.    S = {5, 7, -4, 9}, A = {7, 9} maka dikatakan,
S merupakan semesta dari himpunan A
2.    Semesta pembicaraan dari K={a, i, o} adalah S = {a, i, e, o, u} = himpunan huruf hidup dalam abjad latin, atau S = {abjad latin}.

3. Himpunan Berhingga (Finit) dan Himpunan Tak Berhingga (Infinit)
Suatu himpunan dapat merupakan himpunan yang berhingga atau himpunan yang tak berhingga. Secara intuitif, himpunan dikatakan berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen yang berbeda dan banyaknya tertentu/berhingga (jika kita membilang banyak anggota yang berbeda dalam himpunan itu, proses membilang yang kita lakukan akan berakhir) Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. (proses membilang yang kita lakukan untuk menghitung banyak anggota himpunan tersebut tidak akan berakhir).

Contoh:
1.     Ditentukan himpunan H = himpunan bilangan pada permukaan jam duabelas. Maka    H ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} adalah himpunan finit, karena proses membilang kita akan berhenti.
2.    Himpunan I = himpunan bilangan asli genap merupakan himpunan infinit, karena jika kita membilang banyak anggota himpunan I = {2, 4, 6, …,} proses membilang kita tidak akan pernah berhenti.
3.    J = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif} = {1, 2, 3, ….} J disebut himpunan tak berhingga.
4.      K = {Ali, Budi, Joko}
K disebut himpunan berhingga

II.C Definisi Himpunan
    Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.

    Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang  belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya. Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang. Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

11.D. Jenis-jenis Himpunan

1.    Himpunan Kosong
Definisi :  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

2.    Himpunan Bagian
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

3.    Himpunan sama
Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B  <==>  A ⊆ B dan B ⊆ A 


Tiga hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :
1.    Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.
Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}
2.    Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.
Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}
3.    Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B dan C = C
(b) Jika A = B, maka B = A
(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

II.E. Manfaat belajar himpunan dalam kehidupan sehari-sehari
    Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang mungkin sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak dengan wajah polosnya. “Apa manfaat himpunan dalam kehidupan kita sehari-hari?” Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu Matematika.

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:
1.    Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2.    Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3.    Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
4.    Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.
5.    Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.
6.     Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.


II.F. Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari
Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari biasanya mengenai survey tentang sesuatu, mulai dari yang sederhana hingga ke yang agak luas cakupannya.
Contoh-contohnya adalah sebagai berikut:
Survei yang di lakukan PT(ABC) mengenai kebiasaan mahasiswa dalam mengakses informasi sbb :

400 orang mengakses informasi melalui koran
560 orang mengakses informasi melalui TV
340 orang mengakses informasi melalui internet
205 orang mengakses informasi melalui koran dan TV
175 orang mengakses informasi melalui TV dan Internet
160 orang mengakses informasi melalui koran dan internet
155 orang mengakses informasi melalui ketiganya

pertanyaan:
a.    jika total mahasiswa perguruan tinggi 1100 berapa orang yang tidak  mengakses dari ketiga nya?
b.    berapa orang yang tidak mengakses informasi melalui 2 media saja?
c.    berapa orang yang mengakses informasi melalui satu media saja?
Jawab :
Total mahasiswa n(S) = 1100
Koran n(K) = 400
TV n(TV) = 560
Internet n(I) = 340
(K ∩ TV) = 205
(K ∩ I) = 160
(TV ∩ I) = 175
(K ∩ TV ∩ I) = 155
(K 915     = 400 + 560 + 340 – 205 – 160 – 175 + 155
Cara penyelesaian yang mudah bisa dilakukan dengan menggambar diagram venn terlebih dulu, seperti gambar di bawah ini :
Buat diagram ven, berupa persegi untuk himpunan semesta S
Di dalamnya buat tiga lingkaran yang saling beririsan dan beri nama K, TV dan I.
Pada irisan ketiga lingkaran K ∩ TV ∩ I, tulis 155
Pada irisan K ∩ TV dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 205 - 155 = 50
Pada irisan K ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 160 - 155 = 5
Pada irisan TV ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 175 - 155 = 20
Pada lingkaran K dikurangi irisan, tulis 400 - (50 + 5 + 155) = 150
Pada lingkaran TV dikurangi irisan, tulis 560 - (50 + 20 + 155) = 335
Pada lingkaran I dikurangi irisan, tulis 340 - (5 + 20 + 155) = 150
Pada bagian luar lingkaran, tulis 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225

Dari penyelesaian diatas, jawaban dapat disimpulkan seperti di bawah ini :
1.    Yang tidak mengakses ketiga media --> 225 orang
cara : 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225
2.    Yang mengakses melalui dua media --> 75 orang
cara : 50 + 20 + 5 = 75
3.    Yang mengakses melalui satu media --> 645 orang
4.    cara : 150 + 335 + 160 = 645

Syarat lulus bagi peserta ujian adalah nilai Bahasa Inggris dan Matematika harus lebih dari 4,5. Dari 50 siswa peserta ujian terdapat 15 siswa yang nilai Bahasa Inggrisnya kurang dari 4,5. Dan terdapat 20 siswa yang mendapatkan nilai Matematika dan Bahasa Inggrisnya lebih dari 4,5.Jika banyaknya siswa yang tidak lulus ada 8 orang, tentukan:
Untuk menjawab permasalahan diatas dapat dilakukan dengan cara berikut ini:
Data yang diketahui:
    Banyaknya siswa (S) = 50 = n(S)
    Tidak lulus bahasa inggris (TI) = 15 = n(TI)
    Tidak lulus bahasa inggris dan matenatika = 8 = n(TI∩TM)
    Siswa yang lulus = 20 = n(TI U TM)’

Yang ditanya :
Jawab:
 n(TI U TM) = n(S) - n(TI UTM)’
= 50 – 8
= 7
 n(TI∩TM) = n(TI) + n(TM) - n(TI U TM)
                8 = 15 + n(TM) – 30
              38 = 15 + n(TM)
        n(TM) = 23
n(TM) - n(TI∩TM) = 23 – 8
             n(TM) saja  = 15
n(TI) - n(TI∩TM) = 15 – 8
             n(TI) saja  = 7
n(TI U TM)’ + n(TI) = 20 + 7
                n(TM)'      =  27
n(TI U TM)’ + n(TM) = 20 + 15
                  n(TI)'        =  35

Keterangan:     - Tidak lulus bahasa inggris = TI
                        - Tidak lulus matematika = TM


BAB III
PENUTUP

III.A. Kesimpulan
1.    George Cantor (1845-1918) dianggap sebagai Bapak teori himpunan, karena beliaulah yang pertama kali mengembangkan cabang matematika ini.
2.    Pembelajaran mengenai himpunan selalu di identikkan dengan diagram venn karena diagram venn ini memang diciptakan untuk membantu dalam menjelaskan mengenai hubungan antar-himpunan dan operasi-operasi pada himpunan tersebut.
3.    Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.
4.    Dengan mempelajari Himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis.
5.    Contoh penerapan himpunan matematika sangat banyak dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya untuk menghitung survey seperti contoh diatas.
6.    Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan itu dapat berupa daftar, koleksi atau kelas
7.    Dari uraian diatas dapat diambil kesimpulan bahwa himpunan adalah himpunan adalah sekelompok objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Himpunan dapat berupa himpunan semesta , himpunan kosong, himpunan terhingga, dan tidak terhingga. Himpunan merupakan dasar dari sebuah matematika modern

III.B. Saran
Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih seius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.